Числовая последовательность и ее предел

Пределы числовых последовательностей

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:

1, 2, 3, … , n –1, n, … .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом u_n , следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:

u₁ , u₂ , u₃ , …, u_n_- 1 , u_n , …, кратко обозначаемый { u_n}

и называемый числовой последовательностью.
Величина u_n называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой u_n = f ( n ), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n ; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).

П р и м е р ы числовых последовательностей:

1, 2, 3, 4, 5, … - ряд натуральных чисел ;

2, 4, 6, 8, 10, … - ряд чётных чисел;

1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … - числовая последовательность

приближённых значений

с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности, тем не менее эта последовательность описана полностью.

Предел числовой последовательности.

Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n.
Геометрически это значит, что для любого